Question

【題目】如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，點M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足為N．

（1）求證：OM=AN；
（2）若⊙O的半徑R=3，PA=9，求OM的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接OA，則OA⊥AP，

∵MN⊥AP，

∴MN∥OA，

∵OM∥AP，

∴四邊形ANMO是矩形，

∴OM=AN

（2）解：連接OB，則OB⊥BP

∵OA=MN，OA=OB，OM∥AP．

∴OB=MN，∠OMB=∠NPM．

∴Rt△OBM≌Rt△MNP，

∴OM=MP．

設OM=x，則NP=9﹣x，

在Rt△MNP中，有x2=32+（9﹣x）2

∴x=5，即OM=5

【解析】（1）先通過作輔助線證明四邊形ANMO是矩形再由即矩形性質可解決問題；
（2）先證明Rt△OBM≌Rt△MNP得到 OM=MP，再設OM=x，則NP=9-x，由勾股定理列方程再方程即可.