Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，矩形 ABCO，B點坐標為（4,3），拋物線y=
經過矩形ABCO的頂點 B 、C ，D為BC的中點，直線 AD y軸交 E點，與拋物線 交于第四象限的 F點．

（1）求該拋物線解析式與F點坐標；
（2）如圖2，動點P從點C出發，沿線段 CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動；同時，動點M從 A出發，沿線 AE以每秒 個單位長度的速度向終點E運動．過點P作PH ⊥OA，垂足為H ，連接 MP ，MH ．設點 P 的運動時間 t秒．
①問EP+ PH+ HF是否有最小值？如果有,求出t的值；如果沒有，請說明理由．
②若△PMH是等腰三角形，請直接寫出此時t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵矩形ABCO中點B的坐標為（4，3），
∴點C（0，3），
∵拋物線y=x2+bx+c經過矩形ABCO的頂點B、C，
∴,
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=x2+2x+3 ①，
設直線AD的解析式為y=kx+m，
∵A（4，0），D（2，3），
∴，
解得：，
∴直線AD的解析式為y=x+6 ②，
聯立①②兩式，且點F在第四象限，
∴點F（6，-3）
（2）解：①如圖（1）：

∵E（0，6），
∴CE=CO，
連接CF交x軸于H'，過點H'作H'P'⊥BC與點P'，
當P運動到P'，當H運動到H'時，EP+ PH+ HF的值最小.
設直線CF的解析式為y=kx+b，
∵C（0,3），F（6，-3），
∴，
解得：，
∴y=-x+3，
∴H'（3，0）
∴CP=3，
∴t=3.
②如圖1：過點M作MN⊥OA于點N，

∵AMNAEO，
∴，
即：，
∴AN=t，MN=t，
（I）如圖3，當PM=HM時，點M在PH的垂直平分線上，
∴MN=PH，
∴MN=t=，
∴t=1；
（II）如圖1，當HM=HP時，MH=3，MN=t，
HN=OA-AN-OH=4-2t，
在RtHMN中，MN2+HN2=MH2，
∴（t）2+（4-2t）2=32，
解得：t1=2（舍去），t2=；
（III）如圖2，圖4，當PH=PM時，
∵PM=3，MT=|3-t|，PT=BC-CP-BT=|4-2t|，
∴在RtPMT中，MT2+PT2=PM2，
即：（3-t）2+（4-2t）2=32，
解得：t1=，t2=；
綜上，t=1，t=，t=，t=.

【解析】（1）由矩形的性質可求出點C的坐標，用待定系數法求得拋物線的解析式，再根據點A和點D的坐標，用待定系數法求得一次函數的解析式，再聯立二次函數和一次函數的解析式即可求出點F的坐標；（2）①根據題意作出輔助線，當P運動到P'，當H運動到H'時，EP+ PH+ HF的值最小；②根據題意作出輔助線，再分情況討論，求出t的值即可.