Question

【題目】如圖，正方形紙片ABCD，P為正方形AD邊上的一點（不與點A，點D重合），將正方形紙片折疊，使點B落在點P處，點C落在點G處，PG交DC于點H，折痕為EF，連接BP，BH．BH交EF于點M，連接PM．下列結論：①BE=PE；②EF=BP；③PB平分∠APG；④MH=MF；⑤BP=BM，其中正確結論的個數是（　　）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

Answer 1

【答案】B

【解析】

①③利用正方形的性質、翻折不變性即可解決問題；
②構造全等三角形即可解決問題；
④利用特殊位置，判定結論即可；
⑤只要證明△PBM是等腰直角三角形即可解決問題；

如圖1，

根據翻折不變性可知：PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠PBC=∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．故①③正確；
如圖1中，作FK⊥AB于K．設EF交BP于O．

∵∠FKB=∠KBC=∠C=90°，
∴四邊形BCFK是矩形，
∴KC=BC=AB，
∵EF⊥PB，
∴∠BOE=90°，
∵∠ABP+∠BEO=90°，∠BEO+∠EFK=90°，
∴∠ABP=∠EFK，∵∠A=∠EKF=90°，
∴△ABP≌△KFE（ASA），
∴EF=BP，故②正確，
如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q．

由（1）知∠APB=∠BPH，
在△ABP和△QBP中，
，
∴△ABP≌△QBP（AAS）．
∴AP=QP，AB=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH（HL）
∴∠QBH=∠HBC，∠ABP=∠PBQ，
∴∠PBH=∠PBQ+∠QBH=∠ABC=45°，
∵MP=MB，
∴△PBM是等腰直角三角形，
∴PB=BM，故⑤正確；
當等P與A重合時，顯然MH＞MF，故④錯誤，
故選：B．