Question

【題目】已知拋物線與x軸交于A（6，0）、B（，0）兩點，與y軸交于點C，過拋物線上點M（1，3）作MN⊥x軸于點N，連接OM．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）如圖1，將△OMN沿x軸向右平移t個單位（0≤t≤5）到△O′M′N′的位置，MN′、M′O′與直線AC分別交于點E、F．

①當點F為M′O′的中點時，求t的值；

②如圖2，若直線M′N′與拋物線相交于點G，過點G作GH∥M′O′交AC于點H，試確定線段EH是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①1；②t=2時，EH最大值為．

【解析】

試題分析：（1）設拋物線解析式為，把點M（1，3）代入即可求出a，進而解決問題．

（2））①如圖1中，AC與OM交于點G．連接EO′，首先證明△AOC∽△MNO，推出OM⊥AC，在RT△EO′M′中，利用勾股定理列出方程即可解決問題．

②由△GHE∽△AOC得==，所以EG最大時，EH最大，構建二次函數求出EG的最大值即可解決問題．

試題解析：（1）設拋物線解析式為，把點M（1，3）代入得a=，∴拋物線解析式為，∴．

（2）①如圖1中，AC與OM交于點G．連接EO′．∵AO=6，OC=2，MN=3，ON=1，∴=3，∴，∵∠AOC=∠MON=90°，∴△AOC∽△MNO，∴∠OAC=∠NMO，∵∠NMO+∠MON=90°，∴∠MON+∠OAC=90°，∴∠AGO=90°，∴OM⊥AC，∵△M′N′O′是由△MNO平移所得，∴O′M′∥OM，∴O′M′⊥AC，∵M′F=FO′，∴EM′=EO′，∵EN′∥CO，∴，∴，∴EN′=（5﹣t），在RT△EO′M′中，∵O′N′=1，EN′=（5﹣t），EO′=EM′=，∴，∴t=1．

②如圖2中，∵GH∥O′M′，O′M′⊥AC，∴GH⊥AC，∴∠GHE=90°，∵∠EGH+∠HEG=90°，∠AEN′+∠OAC=90°，∠HEG=∠AEN′，∴∠OAC=∠HGE，∵∠GHE=∠AOC=90°，∴△GHE∽△AOC，∴，∴EG最大時，EH最大，∵EG=GN′﹣EN′===，∴t=2時，EG最大值=，∴EH最大值=，∴t=2時，EH最大值為．