Question

【題目】如圖，將正n邊形繞點A順時針旋轉60°后，發現旋轉前后兩圖形有另一交點O，連接AO，我們稱AO為“疊弦”；再將“疊弦”AO所在的直線繞點A逆時針旋轉60°后，交旋轉前的圖形于點P，連接PO，我們稱∠OAB為“疊弦角”，△AOP為“疊弦三角形”．

【探究證明】

（1）請在圖1和圖2中選擇其中一個證明：“疊弦三角形”（△AOP）是等邊三角形；

（2）如圖2，求證：∠OAB=∠OAE′．

【歸納猜想】

（3）圖1、圖2中的“疊弦角”的度數分別為 ， ；

（4）圖n中，“疊弦三角形” 等邊三角形（填“是”或“不是”）

（5）圖n中，“疊弦角”的度數為 （用含n的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）15°，24°；（4）是；（5）．

【解析】

試題分析：（1）先由旋轉的性質，再判斷出△APD≌△AOD'，最后用旋轉角計算即可；

（2）先判斷出Rt△AEM≌Rt△ABN，在判斷出Rt△APM≌Rt△AON 即可；

（3）先判斷出△AD′O≌△ABO，再利用正方形，正五邊形的性質和旋轉的性質，計算即可；

（4）先判斷出△APF≌△AE′F′，再用旋轉角為60°，從而得出△PAO是等邊三角形；

（5）用（3）的方法求出正n邊形的，“疊弦角”的度數．

試題解析：（1）如圖1，∵四ABCD是正方形，由旋轉知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，∴∠DAP=∠D'AO，∴△APD≌△AOD'，∴AP=AO，∵∠OAP=60°，∴△AOP是等邊三角形；

（2）如圖2，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．∵五ABCDE是正五邊形，由旋轉知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°，∴∠EAP=∠E'AO，∴△APE≌△AOE'（ASA），∴∠OAE'=∠PAE．

在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°，AE=AB，∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS），∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AO，AM=AN，∴Rt△APM≌Rt△AON （HL），∴∠PAM=∠OAN，∴∠PAE=∠OAB，∴∠OAE'=∠OAB （等量代換）．

（3）由（1）有，△APD≌△AOD'，∴∠DAP=∠D′AO，在△AD′O和△ABO中，∵AD′=AB，AO=AO，∴△AD′O≌△ABO，∴∠D′AO=∠BAO，由旋轉得，∠DAD′=60°，∵∠DAB=90°，∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°，∴∠D′AD=∠D′AB=15°，同理可得，∠E′AO=24°，故答案為：15°，24°．

（4）如圖3，∵六邊形ABCDEF和六邊形A′B′C′E′F′是正六邊形，∴∠F=F′=120°，由旋轉得，AF=AF′，EF=E′F′，∴△APF≌△AE′F′，∴∠PAF=∠E′AF′，由旋轉得，∠FAF′=60°，AP=AO

∴∠PAO=∠FAO=60°，∴△PAO是等邊三角形．

故答案為：是．

（5）同（3）的方法得，∠OAB=[（n﹣2）×180°÷n﹣60°]÷2=．

故答案：．