Question

【題目】已知：如圖∠BAC的角平分線與BC的垂直平分線DG交于點D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E，F．

⑴試說明：BE=CF；

⑵若AF=3，BC=4，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】(1)證明詳見解析；(2)10．

【解析】試題分析：（1）連接DB、DC，根據角平分線性質和垂直平分線的性質得：DE=DF，DB=DC，證明Rt△BED≌Rt△CFD（HL），得出結論；

（2）先證明△AED≌△AFD，得AF=AE=3，再將△ABC的周長進行等量代換，即△ABC的周長=AB+AC+BC=AE+EB+AF﹣CF+BC，代入求值即可．

試題解析：連接DB、DC，

（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，

∵DG垂直平分BC，

∴DB=DC，

在Rt△BED和Rt△CFD中，

DE=DF，BD=CD，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴BE=CF；

（2）∵∠DAE=∠DAF，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，

∴△AED≌△AFD，

∴AF=AE=3，

由（1）得：BE=CF，

∴△ABC的周長=AB+AC+BC=AE+EB+AF﹣CF+BC=AE+AF+BC=3+3+4=10．