Question

【題目】[問題發現]如圖1，半圓的直徑是半圓上的一個動點，則面積的最大值是_．

[問題解決]如圖2所示的是某街心花園的一角．在扇形中，米，在圍墻和上分別有兩個入口和且米，是的中點，出口在上．現準備沿從入口到出口鋪設兩條景觀小路，在四邊形內種花，在剩余區域種草．

①出口設在距直線多遠處可以使四邊形的面積最大？最大面積是多少？（小路寬度不計）

②已知鋪設小路所用的普通石材每米的造價是元，鋪設小路所用的景觀石材每米的造價是元問：在上是否存在點，使鋪設小路和的總造價最低？若存在，請求出最低總造價和出口距直線的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】[問題發現]25；[問題解決]①出口設在距直線米處可以使四邊形的面積最大，最大為平方米；②總造價的最小值為元，出口距直線的距離為米

【解析】

[問題發現]的底邊一定，面積最大也就是P點到AB的距離最大，故當時底邊上的高最大，再計算此時面積即可．

[問題解決]①根據四邊形CODE面積=，求出最大時即可，然后作，證明，利用相似三角形的性質求出即可；

②先利用相似三角形將費用問題轉化為CE+2DE=CE+QE，求CE+QE的最小值問題，然后利用相似三角形性質和勾股定理求解即可．

解：[問題發現]：

如圖1，點運動至半圓的中點時，底邊上的高最大，即

此時的面積最大，最大值為；

[問題解決]如圖2，連接作，垂足為延長交于點，

則此時的面積最大．

為的中點，

，

在中，，

，

四邊形面積的最大值為，

作垂足為，

．

又，

，

，

出口設在距直線米處可以使四邊形的面積最大，最大為平方米；

鋪設小路和的總造價為

如圖3，連接延長到點使，連接

在與中，，且，

故

，問題轉化為求的最小值，

連接交于點，

此時取得最小值為．

在中，，

，

故總造價的最小值為元，

作垂足為，連接．

設則．

在中，，

解得，（舍去），

總造價的最小值為元，出口距直線的距離為米．