Question

【題目】如圖，以為頂點的拋物線交軸于點，，交軸于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線上有一點，使的值最小，求點的坐標；

（3）在軸上是否存在一點，使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為；（3）存在，當的坐標為或時，以，，為頂點的三角形與相似．

【解析】

（1）將點B和點C的坐標代入二次函數解析式中即可求出結論；

（2）先求出點A的坐標，利用待定系數法求出BC的解析式，作點O關于BC的對稱點O′，連接AO′交BC于點P，連接OP，O′B，根據兩點之間線段最短，此時最小，求出點O′的坐標，利用待定系數法求出AO′的解析式，聯立方程即可求出結論；

（3）求出頂點D的坐標，利用平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式求出CD、BC、CD和AC，根據勾股定理的逆定理證出△BCD是直角三角形，然后根據相似三角形的對應情況分類討論，根據相似三角形的性質列出比例式即可求出結論．

解：（1）將點B和點C的坐標代入中，得

解得：

∴拋物線的解析式為；

（2）把y=0代入中，得

解得：x1=-2，x2=6，

∴點A的坐標為（-2,0）

設直線BC的解析式為y=kx＋b

將點B和點C的坐標代入，得

解得：

∴直線BC的解析式為

作點O關于BC的對稱點O′，連接AO′交BC于點P，連接OP，O′B

根據對稱可得PO=PO′，OB=O′B

此時==

根據兩點之間線段最短，此時最小

∵OB=OC=6，∠BOC=90°

∴∠OBC=45°

∴∠OBO′=90°

∵OB= O′B =6

∴點O′的坐標為（6,6）

設直線AO′的解析式為y=mx＋n

將點A和點O′的坐標代入，得

解得：

∴直線AO′的解析式為

聯立

解得：

∴點P的坐標為

（3）∵=

∴點D的坐標為（2,8）

∴

∴CD2＋BC2=80=BD2

∴△BCD為直角三角形，且∠BCD=90°

點Q在點A左側時，△QAC為鈍角三角形，

∴△QAC不可能與△BCD相似

∴點Q必在點A右側，設點Q的坐標為（q，0），則AQ=q－（-2）=q＋2

∵tan∠CAO=，tan∠BDC=

∴∠CAO=∠BDC

當△CQA∽△BCD時，

∴

即

解得：q=0

∴點Q的坐標為（0,0）；

當△QCA∽△BCD時，

∴

即

解得：q=18

∴點Q的坐標為（18,0）；

綜上：點Q的坐標為或．