Question

對于半徑為r的⊙P及一個正方形給出如下定義：若⊙P上存在到此正方形四條邊距離都相等的點，則稱⊙P是該正方形的“等距圓”．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的頂點A的坐標為（2，4），頂點C、D在x軸上，且點C在點D的左側.
（1）當r=時，
①在P₁（0，-3），P₂（4，6），P₃（，2）中可以成為正方形ABCD的“等距圓”的圓心的是_______________；
②若點P在直線上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圓”，則點P的坐標為_______________；
（2）如圖2，在正方形ABCD所在平面直角坐標系xOy中，正方形EFGH的頂點F的坐標為（6，2），頂點E、H在y軸上，且點H在點E的上方.
①若⊙P同時為上述兩個正方形的“等距圓”，且與BC所在直線相切，求⊙P 在y軸上截得的弦長；
②將正方形ABCD繞著點D旋轉一周，在旋轉的過程中，線段HF上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心，則r的取值范圍是_______________．

Answer 1

（1）①P₂，P₃；②P（-4，6）或P（4，-2）；（2）①；②．

試題分析：（1）①②直接根據定義作答.
（2）①根據定義和直線與圓的位置關系求解即可；②根據定義列不等式求解即可.
試題解析：（1）①P₂，P₃；
②P（-4，6）或P（4，-2）.
（2）①∵⊙P同時為正方形ABCD與正方形EFGH的“等距圓”，
∴⊙P同時過正方形ABCD的對稱中心E和正方形EFGH的對稱中心I.
∴點P在線段EI的中垂線上.
∵A（2，4），正方形ABCD的邊CD在x軸上；F（6，2），正方形EFGH的邊HE在y軸上，
∴E（0，2），I（3，5）.∴∠I EH=45°，
設線段EI的中垂線與y軸交于點L，與x軸交于點M，
∴△LIE為等腰直角三角形，LI⊥y軸，∴L（0，5），
∴△LOM為等腰直角三角形，LO=OM.∴M（5，0）.
∴P在直線y=-x+5上.
∴設P（p，-p+5）.
過P作PQ⊥直線BC于Q，連結PE，
∵⊙P與BC所在直線相切，∴PE=PQ.
∴，
解得：，.
∴．
∵⊙P過點E，且E點在y軸上，
∴⊙P在y軸上截得的弦長為.

②．