Question

在矩形ABCD中，DC=，CF⊥BD分別交BD、AD于點E、F，連接BF．
（1）求證：△DEC∽△FDC；
（2）當F為AD的中點時，求sin∠FBD的值及BC的長度．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）sin∠FBD=；BC=．

試題分析：（1）掌握三角形相似的判定方法，其中兩角對應相等，兩個三角形相似是最常用的方法.
（2）雖是求sin∠FBD，用的知識點都是三角形相似的性質，再用勾股定理，角的正弦公式可求出.
試題解析：證明：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC．
（2）∵F為AD的中點，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，
∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=；
設EF=x，則FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴=，即可得：6x²=6，
解得：x=1，
則CF=3，
在Rt△CFD中，DF=，
∴BC=2DF=．