Question

【題目】【發現證明】如圖1，點E，F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=45°，試判斷BE，EF，FD之間的數量關系．

小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，通過證明△AEF≌△AGF；從而發現并證明了EF=BE+FD．
（1）【類比引申】如圖2，點E，F分別在正方形ABCD的邊CB，CD的延長線上，∠EAF=45°，連接EF，請根據小聰的發現給你的啟示寫出EF，BE，DF之間的數量關系，并證明；

（2）【聯想拓展】如圖3，如圖，∠BAC=90°，AB=AC，點E、F在邊BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：DF=EF+BE．

理由：如圖1所示， ∵AB=AD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，

∵∠ADC=∠ABE=90°，

∴點C、D、G在一條直線上，

∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD，

∵∠BAG+∠GAD=90°，

∴∠EAG=∠BAD=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠FAG=∠EAG﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，

∴∠EAF=∠GAF，

在△EAF和△GAF中，

，

∴△EAF≌△GAF，

∴EF=FG，

∵FD=FG+DG，

∴DF=EF+BE

（2）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴將△ABE繞點A順時針旋轉90°得△ACG，連接FG，如圖2，

∴AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，

∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，

∴FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；

又∵∠EAF=45°，

而∠EAG=90°，

∴∠GAF=90°﹣45°，

在△AGF與△AEF中，

，

∴△AEF≌△AGF，

∴EF=FG，

∴CF2=EF2﹣BE2=52﹣32=16，

∴CF=4．

【解析】（1）首先把△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ADG，然后再證明△AFE≌△AFG，依據全等三角形對應邊相等可得到EF=FG，接下來，由FD=FG+DG可得到DF=EF+BE；
（2）首先將△ABE繞點A順時針旋轉90°得△ACG，連接FG，然后依據旋轉的性質可得到AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，接下來，再依據勾股定理可證明FG2=FC2+CG2=BE2+FC2，然后根據全等三角形的性質得到FG=EF，最后，再利用勾股定理可求得CF的長.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圖形的旋轉的相關知識，掌握每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．旋轉的方向、角度、旋轉中心是它的三要素．