Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，∠C＝30°點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0），過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF．

（1）DF＝　 　；（用含t的代數(shù)式表示）

（2）求證：△AED≌△FDE；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF是等邊三角形？說明理由；

（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？（請(qǐng)直接寫出t的值．）

Answer 1

【答案】（1）t；（2）證明見解析；（3）；（4） 或4.

【解析】

（1）由∠DFC＝90°，∠C＝30°，證出DF＝t；
（2）證明得DF∥AB，所以∠AED＝∠FDE，然后可得△AED≌△FDE；

（3）先證明四邊形AEFD為平行四邊形．得出AB＝5，AD＝AC－DC＝10－2t，若△DEF為等邊三角形，△EDA是等邊三角形，得出AE＝AD，t＝10－2t，求出t＝；
（4）因?yàn)?/span>△AED≌△FDE，所以當(dāng)△DEF為直角三角形時(shí)，△EDA是直角三角形，然后分情況討論即可求解.

解：（1）∵DF⊥BC，

∴∠CFD＝90°．

在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠C＝30°，CD＝2t，

∴DF＝CD＝t．

故答案為：t．

（2）證明：∵∠CFD＝90°，∠B＝90°，

∴DF∥AB，

∴∠AED＝∠FDE．

在△AED和△FDE中，AF＝FD＝t,∠AED＝∠FDE,DE＝DE，

∴△AED≌△FDE（SAS）．

（3）∵△AED≌△FDE，

∴當(dāng)△DEF是等邊三角形時(shí)，△EDA是等邊三角形．

∵∠A＝90°﹣∠C＝60°，

∴AD＝AE．

∵AE＝t，AD＝AC﹣CD＝10﹣2t，

∴t＝10﹣2t，

∴t＝，

∴當(dāng)t為時(shí)，△DEF是等邊三角形．

（4）∵△AED≌△FDE，

∴當(dāng)△DEF為直角三角形時(shí)，△EDA是直角三角形．

當(dāng)∠AED＝90°時(shí)，AD＝2AE，即10﹣2t＝2t，

解得：t＝；

當(dāng)∠ADE＝90°時(shí)，AE＝2AD，即t＝2（10﹣2t），

解得：t＝4．

綜上所述：當(dāng)t為或4時(shí)，△DEF為直角三角形．