Question

【題目】如圖1，直線與直線交于點(diǎn)，．小明將一個(gè)含的直角三角板如圖1所示放置，使頂點(diǎn)落在直線上，過點(diǎn)作直線交直線于點(diǎn)(點(diǎn)在左側(cè))．

（1）若，，則__________．

（2）若的角平分線交直線于點(diǎn)，如圖2．

①當(dāng)，時(shí)，求證：．

②小明將三角板保持并向左平移，運(yùn)動(dòng)過程中，__________．(用表示)．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）①詳見解析；②或；

【解析】

（1）根據(jù)平行線性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線性質(zhì)得；

（2）①根據(jù)平行線性質(zhì)得，，結(jié)合角平分線定義可證，得，根據(jù)平行線傳遞性可再證；

②分兩種情況當(dāng)Q在H的右側(cè)時(shí)，根據(jù)平行線性質(zhì)可得∠BPD=∠BOC=α，∠MQP=∠QPB=60°+α，根據(jù)角平分線性質(zhì)∠MQE=（60°+α），故∠PEQ=∠MQE；當(dāng)Q在H的右側(cè)時(shí)，與上面同理，∠NQE=（180°-60°-α），∠PEQ=∠NQE．

（1）由，,可得，

而，則有．

故

（2）

∵，，∴，

又∵，∴，

又∵平分，∴，

又∵，∴，

且，∴，∴，

∵，∴．

②當(dāng)Q在H的右側(cè)時(shí)，

∵PD∥OC

∴∠BPD=∠BOC=α

∵MN∥AB

∴∠MQP=∠QPB=60°+α

又∵QE平分∠MQP

∴∠MQE=（60°+α）=30°+α

∴∠PEQ=∠MQE=30°+α

當(dāng)Q在H的左側(cè)時(shí)

∵PD∥OC

∴∠BPD=∠BOC=α

∵MN∥AB

∴∠NQP=180°-60°-α

又∵QE平分∠NQP

∠NQE=（180°-60°-α）=60°-α

∴∠PEQ=∠NQE=60°-α

∴或．