Question

【題目】如圖，已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點A（﹣3，﹣3）．

（1）求正比例函數和反比例函數的表達式；

（2）把直線OA向上平移后與反比例函數的圖象交于點B（﹣6，m），與x軸交于點C，求m的值和直線BC的表達式；

（3）在（2）的條件下，直線BC與y軸交于點D，求以點A，B，D為頂點的三角形的面積；

（4）在（3）的條件下，點A，B，D在二次函數的圖象上，試判斷該二次函數在第三象限內的圖象上是否存在一點E，使四邊形OECD的面積S1與四邊形OABD的面積S滿足：S1=S？若存在，求點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ，；（2） ,；（3）；（4）E的坐標是（﹣2，﹣）．

【解析】

（1）利用待定系數法即可求得函數的解析式；

（2）把B（﹣6，m）代入反比例函數解析式即可求出m的值，再根據直線平移的性質即可求直線BC的表達式；

（3）作AM⊥y軸于點M，作BN⊥y軸于點N，根據S四邊形ABDM=S梯形ABNM+S△BDN，S△ABD=S四邊形ABDM﹣S△ADM即可求解；

（4）設二次函數的解析式是y=ax2+bx+，然后利用待定系數法求得二次函數的解析式，根據S1=S即可求得S1的值，根據S1=S△OCD+S△OCE列方程求出y0的值，再由E（x0，y0）在二次函數的圖象上，即可求得x0的值，進而求得E的坐標．

解：（1）設正比例函數的解析式是y=kx，代入（﹣3，﹣3），得：﹣3k=﹣3，解得：k=1，

則正比例函數的解析式是：y=x；

設反比例函數的解析式是y=，把（﹣3，﹣3）代入解析式得：k1=9，

則反比例函數的解析式是：y=；

（2）m==﹣，則點B的坐標是（﹣6，﹣），

∵y=k3x+b的圖象是由y=x平移得到，

∴k3=1，即y=x+b，

故一次函數的解析式是：y=x+；

（3）∵y=x+的圖象交y軸于點D，

∴D的坐標是（0，），

作AM⊥y軸于點M，作BN⊥y軸于點N．

∵A的坐標是（﹣3，﹣3），B的坐標是（6，﹣），

∴M的坐標是（0，﹣3），N的坐標是（0，﹣）．

∴OM=3，ON=．

則MD=3+=，DN=+=6，MN=3﹣=．

則S△ADM=×3×=，S△BDN=×6×6=18，S梯形ABNM=×（3+6）×=．

則S四邊形ABDM=S梯形ABNM+S△BDN=+18=，

S△ABD=S四邊形ABDM﹣S△ADM=﹣=；

（4）設二次函數的解析式是y=ax2+bx+，

則，

解得：，

則這個二次函數的解析式是：y=x2+4x+；

點C的坐標是（﹣，0）．

則S=×6﹣×6×6﹣×3×﹣×3×=45﹣18﹣﹣=．

假設存在點E（x0，y0），使S1=S=×=．

∵四邊形CDOE的頂點E只能在x軸的下方，

∴y0＜0，

∴S1=S△OCD+S△OCE=××﹣×y0=﹣y0，

∴﹣y0=，

∴y0=﹣，

∵E（x0，y0）在二次函數的圖象上，

∴x02+4x0+=﹣，

解得：x0=﹣2或﹣6．

當x0=﹣6時，點E（﹣6，﹣）與點B重合，這時CDOE不是四邊形，故x0=﹣6（舍去）．

∴E的坐標是（﹣2，﹣）．