Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，點E、F分別在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延長線交于點M，OF、AB的延長線交于點N，連接MN．

（1）求證：OM=ON．

（2）若正方形ABCD的邊長為4，E為OM的中點，求MN的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）2

【解析】

（1）由正方形ABCD可知∠OAM=∠OBN，OA=OB，∠AOM=∠BON進而可知△OAM≌△OBN即可證明OM=ON

（2），如圖，過點O作OH⊥AD于點H，可知OH=HA，由已知可求出HM的長，通過勾股定理可知OM長進而即可求出MN的長.

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，

∴∠OAM=∠OBN=135°，

∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，

∴∠AOM=∠BON，

∴△OAM≌△OBN（ASA），

∴OM=ON；

（2）如圖，過點O作OH⊥AD于點H，

∵正方形的邊長為4，

∴OH=HA=2，

∵E為OM的中點，

∴HM=4，

則OM==2，

∴MN=OM=2．