Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形（各邊相等，各內角為直角），E是BC邊上一點，F是CD上的一點．

（1）若△CFE的周長等于正方形ABCD的周長的一半，求證：∠EAF=45°；

（2）在（1）的條件下，若DF=2，CF=4，CE=3，求△AEF的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)15.

【解析】

（1）延長CF至G，使DG=BE，連接AG，由已知條件得出CE+CF+EF=CD+BC，得出DF+BE=EF，證出DF+DG=EF，即GF=EF，由SAS證明△ABE≌△ADG，得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，證出∠EAG=90°，由SSS證明△AEF≌△AGF，得出∠EAF=∠GAF=×90°=45°；

（2）由已知條件得出AB=AD=CD=BC=6，BE=BC-CE=3，由（1）得：==+，即可得出答案．

（1） 證明：延長CF至G，使DG=BE，連接AG，如圖所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠ABE=∠ADF=90°，AB=BC=CD=AD，

∴∠ADG=90°，

∵△CFE的周長等于正方形ABCD的周長的一半，

∴CE+CF+EF=CD+BC，

∴DF+BE=EF，

∴DF+DG=EF，即GF=EF，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∴∠EAG=90°，

在△AEF和△AGF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠EAF=∠GAF=×90°=45°；

（2）解：∵DF=2，CF=4，CE=3，

∴AB=AD=CD=BC=2+4=6，BE=BC﹣CE=3，

由（1）得：==+=×6×3+×6×2=15．