Question

【題目】在平面直角坐標系中，如果點A，點C為某個菱形的一組對角的頂點，且點A，C在直線y＝x上，那么稱該菱形為點A，C的“極好菱形“．如圖為點A，C的“極好菱形”的一個示意圖．已知點M的坐標為（1，1），點P的坐標為（3，3）．

（1）點E（2，4），F（3，2），G（4，0）中，能夠成為點M，P的“極好菱形“的頂點的是　 　；

（2）若點M，P的“極好菱形”為正方形，求這個正方形另外兩個頂點的坐標；

（3）如果四邊形MNPQ是點M，P的“極好菱形”．

①當點N的坐標為（3，1）時，求四邊形MNPQ的面積；

②當四邊形MNPQ的面積為12，且與直線y＝x+b有公共點時，請寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）G；（2）正方形另外兩個頂點的坐標為（1，3）、（3，1）；（3）①S四邊形MNPQ＝4；②﹣6≤b≤6．

【解析】

（1）如圖1中，觀察圖象可知：G能夠成為點M，P的“極好菱形”頂點．

（2）先求得對角線PM的長，從而可得到正方形的邊長，然后可得到這個正方形另外兩個頂點的坐標．

（3）①先依據題意畫出圖形，然后可證明該四邊形為正方形，從而可求得它的面積；

②根據菱形的性質得：PM⊥QN，且對角線互相平分，由菱形的面積為12，且菱形的面積等于兩條對角線積的一半，可得QN的長，推出Q，N的坐標，再利用一次函數性質解決問題即可．

解：（1）如圖1中，由題意點M，P的“極好菱形“的頂點，在線段PM的垂直平分線上．

觀察圖象可知：滿足條件的點是點G，

故答案為G．

（2）如圖2所示：

∵點M的坐標為（1，1），點P的坐標為（3，3），

∴MP＝2，

∵“極好菱形”為正方形，其對角線長為2，

∴其邊長為2．

∴這個正方形另外兩個頂點的坐標為（1，3）、（3，1）．

（3）①如圖2所示：

∵M（1，1），P（3，3），N（3，1），

∴MN＝2，PN⊥MN．

∵四邊形MNPQ是菱形，

∴四邊形MNPQ是正方形．

∴S四邊形MNPQ＝4．．

②如圖3所示：

∵點M的坐標為（1，1），點P的坐標為（3，3），

∴PM＝2，

∵菱形MNPQ的面積為12，

∴S菱形MNPQ＝PMQN＝12，即×2×QN＝12，

∴QN＝6，

∴Q（﹣1，5），N（5，﹣1），

當直線y＝x+b經過點Q（﹣1，5）時，b＝6，

當y＝x+b經過點N（5，﹣1）時，b＝﹣6，

∴當四邊形MNPQ與直線y＝x+b有公共點時，b的取值范圍是﹣6≤b≤6．