Question

如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點.

（1）請求出拋物線頂點的坐標（用含的代數式表示），兩點的坐標；
（2）經探究可知，與的面積比不變，試求出這個比值；
（3）是否存在使為直角三角形的拋物線？若存在，請求出；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

試題分析：（1）將拋物線的解析式化為頂點坐標式，即可得到頂點M的坐標；拋物線的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐標．
（2）易求得C點坐標，即可得到OC的長，以AB為底，OC為高，即可求出△ABC的面積；△BCM的面積無法直接求得，可用割補法求解，過M作MD⊥x軸于D，根據B、C、M四點坐標，可分別求出梯形OCMD、△BDM的面積，它們的面積和減去△BOC的面積即為△BCM的面積，進而可得到△ABC、△BCM的面積比．
（3）首先根據B、C、M的坐標，求出BC²、BM²、CM²的值，由于△BCM中，B、C、M都有可能是直角頂點，所以要分三種情況討論：①∠BCM=90°，②∠BMC=90°，③∠MBC=90°，在上述三種不同的直角三角形中，利用勾股定理可求得m的值，進而可確定拋物線的解析式．
（1）
拋物線頂點的坐標為（1，m）
拋物線與軸交于兩點，
當時，

解得
兩點的坐標為（）、（）；
（2）當時，，
點的坐標為.
5分
過點作軸于點，則



=
=
=3m

（3）存在使為直角三角形的拋物線.
過點作于點，則為，


在中，
在中，
①如果是，且那么
即
解得，

存在拋物線使得是；
②如果是，且那么
即
解得，

存在拋物線，使得是；
③如果是，且，那么
即
整理得此方程無解.
以為直角的直角三角形不存在.
綜上所述，存在拋物線和
使得是.
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．