Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA="16" cm，OC=8cm，現有兩動點P、Q分別從O、C同時出發，P在線段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度勻速運動，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度勻速運動．設運動時間為t秒．

（1）用含t的式子表示△OPQ的面積S；
（2）判斷四邊形OPBQ的面積是否是一個定值，如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由；
（3）當△OPQ∽△ABP時，拋物線y＝x²+bx+c經過B、P兩點，求拋物線的解析式；
（4）在（3）的條件下，過線段BP上一動點M作軸的平行線交拋物線于N，求線段MN的最大值．

Answer 1

（1）；（2）是；（3）；（4）9

試題分析：（1）根據速度與時間的關系分別表示出CQ、OP、OQ的長度，然后利用三角形的面積公式列列式整理即可得解；
（2）用矩形OABC的面積減去△ABP與△BCQ的面積，根據面積公式分別列式進行整理即可得解；
（3）根據相似三角形對應邊成比例列出比例式，然后代入數據求解即可得到t值，從而得到點P的坐標；
（4）先求出直線BP的解析式，然后根據直線解析式與拋物線解析式設出點M、N的坐標，再根據兩點間的距離表示出MN的長度，根據二次函數的最值問題解答．
（1）∵CQ=t，OP=2t，CO=8，
∴OQ=8-t，


=128-64+8t-8t=64，
∴四邊形OPBQ的面積為一個定值，且等于64；
（3）當△OPQ∽△ABP時，./

解得：t₁=2，t₂=8（舍去），
此時P（4，0），
∵B（16，8），
  
∴拋物線解析式是；
（4）設直線BP的解析式為y=kx+b
 

∴直線BP的解析式是

∵M在BP上運動，
∴4≤m≤16，

∴當時，MN有最大值是9．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．