Question

如圖，拋物線經過A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三點．

(1)求出拋物線的解析式；
(2)P是拋物線上一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)在直線AC上方的拋物線上有一點D，使得△DCA的面積最大，求出點D的坐標．

Answer 1

（1） （2）存在！P為(2,1)或(5,-2)或(-3,-14) （3）D(2,1)

試題分析：（1）∵該拋物線過點C(0,-2)，∴可設該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2．
將A(4,0),B(1,0)，代入，得  解之
∴此拋物線的解析式為．
（2）存在！如圖，設P點的橫坐標為m，則P點的縱坐標為，

當1＜m＜4時，AM=4-m，．又∵∠COA=∠PMA=90°,
∴① 當時，△PMA∽△COA，即  ．
解之 m₁="2," m₂=4（舍去），   ∴P(2,1)．
② 當時，△APM∽△CAO，即 ．
解之 m₁="4," m₂=5（均不合題意，舍去）
∴當1<m<4時，P(2,1)  類似地可求出, 當m>4時，P(5,-2)
當m<1時，P(-3,-14)
綜上所述，符合條件的點P為(2,1)或(5,-2)或(-3,-14)
（3）如圖，設D點的橫坐標為t(0<t<4)，則D點的縱坐標為．
過D作y軸的平行線交AC于E．由題意，可求得直線AC的解析式為:，
E點的坐標為．∴ =
從而，S_△DAC==-t²+4t=-(t-2)²+4．∴當t=2時，△DAC面積最大．∴D(2,1)
點評：本題考查拋物線的知識，要求考生根據拋物線的概念和性質來解本題