Question

【題目】如圖，正方形中，，是邊的中點，點是正方形內一動點，，連接，將線段繞點逆時針旋轉得，連接，．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，若，，三點共線，求點到直線的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點F到直線BC的距離是．

【解析】

（1）由旋轉的性質可得∠EDF=90°，DE=DF，由正方形的性質可得∠ADC=90°，DE=DF，可得∠ADE=∠CDF，由“SAS”可證△ADE≌△CDF，可得AE=CF；

（2）由勾股定理可求AO的長，可得AE=CF=3，通過證明△ABO∽△CPF，可得，即可求PF的長，即可求點F到直線BC的距離．

解：（1）由旋轉得：，，

∵四邊形是正方形，

∴，，

∴，

即，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴；

（2）解：如圖2，過點F作FP⊥BC交BC延長線于點P，

則線段FP的長度就是點F到直線BC的距離．

∵點O是BC中點，且AB=BC=2

∴BO=，

∴AO==5

∵OE=2

∴AE=AO-OE=3

∵△ADE≌△CDF

∴AE=CF=3，∠DAO=∠DCF

∴∠BAO=∠FCP，且∠ABO=∠FPC=90°

∴△ABO∽△CPF

∴

∴

∴PF=

∴點F到直線BC的距離為．