Question

【題目】如圖，已知正方形的邊長為4，是邊上的一個動點，連接，過點作的垂線交于點，以為邊作正方形，頂點在線段上，對角線，相交于點.

（1）若，則 ；

（2）①求證：點一定在的外接圓上；

②當點從點運動到點時，點也隨之運動，求點經過的路徑長；

（3）在點從點到點的運動過程中，的外接圓的圓心也隨之運動，求該圓心到邊的距離的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①詳見解析；②2；（3）

【解析】

（1）由正方形的性質得出∠C=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，CD=BC=4，∠OEP=45°，由角的互余關系證出∠BEP=∠DPC，得出△CDP∽△BPE，得出對應邊成比例即可求出BE的長；
（2）①B、P、O、E四點共圓，即可得出結論；
②連接BO、BD，由勾股定理求出BD=4，由圓周角定理得出∠OBP=∠OEP=45°，周長點O在BD上，當P運動到點C時，O為BD的中點，即可得出答案；
（3）設的外接圓的圓心為M，作MN⊥CB于N，由三角形中位線定理得出MN=BE，設BP=x，則CP=4-x，由相似三角形的對應邊成比例求出BE=x-x2=-（x-2）2+1，由二次函數的最大值求出BE的最大值為1，得出MN的最大值=即可．

解：（1）∵四邊形ABCD、四邊形PEFG是正方形，
∴∠C=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，CD=BC=4，∠OEP=45°，
∴∠BEP+∠BPE=90°，∠DPC+∠BPE=90°，
∴∠BEP=∠DPC，
∴△CDP∽△BPE；

∴，即

∴BE=

（2）①證明：如圖，
取PE的中點Q，連接BQ，OQ，

∵∠POE=90°，
∴OQ=PE，
∵△BPE是直角三角形，
∴點Q是Rt△BPE外接圓的圓心，
∴BQ=PE，
∴OQ=BQ，
∴點O一定在△APE的外接圓上；（到圓心的距離等于半徑的點必在此圓上）
②解：連接OB、BD，如圖所示：

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠DBC=45°，
∴BD==4，
∵B、P、O、E四點共圓，
∴∠OBP=∠OEP=45°，
∴點O在BD上，
當P運動到點C時，O為BD的中點，OB=BD=2，
即點O經過的路徑長為2；
（3）解：設△BPE的外接圓的圓心為M，作MN⊥BC于N，如圖：

則MN∥BE，
∵ME=MP，
∴BN=PN，
∴MN=BE，
設BP=x，則PC=4-x，
由（1）得：△CDP∽△BPE，
∴，即，
解得：BE=x-x2=-（x-2）2+1

∴x=2時，BE的最大值為1，此時MN的值最大=，
即△APE的圓心到BC邊的距離的最大值為．