Question

【題目】如圖，在等邊三角形的，邊上分別任取一點，，且，、相交于點．下列四個結論：①若，則；②若，，則；③；④若，則的最小值為，其中正確的是（ ）

A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③

Answer 1

【答案】B

【解析】

過點P作PD∥BC交AQ于點D，證出，即可判斷①；過點B作BE⊥AC于E，利用勾股定理求出PE，即可判斷②；利用SAS即可證出△ABP≌△CAQ，然后證出△BPA∽△APO，列出比例式，利用等量代入即可判斷③；以BA為邊作等邊△NAB，連接CN，利用四點共圓、銳角三角函數即可判斷④．

解：∵△ABC為等邊三角形

，AP：AC=1:3

過點P作PD∥BC交AQ于點D

∴

∴

∴CQ=3PD

∴BQ=6PD

∴，故①正確；

過點B作BE⊥AC于E，

∴CE=AC=BC= 4

根據勾股定理可得BE=

PE=

∴CP=CE＋PE=5或CP=CE－PE=3，故②錯誤；

∵△ABC為等邊三角形

∴AB=CA，∠BAP=∠ACQ

在△ABP和△CAQ中

∴△ABP≌△CAQ

∴∠PBA =∠PAO，BP=AQ

∵∠BPA=∠APO

∴△BPA∽△APO

∴

∴，

∴，故③正確；

以BA為邊作等邊△NAB，連接CN

∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB

∵∠PBA=∠QAC

∴∠NAO＋∠NBO=∠NAB＋∠BAQ＋∠NBA＋∠PBA

=60°＋∠BAQ＋60°＋∠QAC

=120°＋∠BAC

=180°

∴點N、A、O、B四點共圓，且圓心即為等邊△NAB的中心M，設CM與圓M的交點O′，CO′即為CO的最小值

∵NA=NB，CA=CB

∴CN垂直平分AB

∴∠MAD=∠ACM=30°

∴∠MAC=∠MAD＋∠BAC=90°

在Rt△MAC中，AC=3，

∴MA=AC·tan∠ACM=，CM=2AM=2

∴MO′=MA=

∴CO′=CM－MO′=

即CO的最小值為，故④正確．

綜上：正確的有①③④

故選B．