Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，動點M從點B出發，在BA邊上以每秒2cm的速度向點A勻速運動，同時動點N從點C出發，在CB邊上以每秒cm的速度向點B勻速運動，設運動時間為t秒（0≤t≤5），連接MN．

（1）若BM=BN，求t的值；

（2）若△MBN與△ABC相似，求t的值；

（3）當t為何值時，四邊形ACNM的面積最小？并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）10-15；（2）t=或t=；（3）t=2.5；最小值為

【解析】試題分析：（1）根據Rt△ABC的性質得出AB和BC的長度，然后根據BM=BN得出t的值；（2）分△MBN∽△ABC和△NBM∽△ABC兩種情況分別求出t的值；（3）根據四邊形的面積等于△ABC的面積減去△BMN的面積得出函數解析式，從而求出最值.

試題解析：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，∴，

由題意知，，， 由BM=BN得

解得：

（2）①當△MBN∽△ABC時， ∴，即，解得：

②當△NBM∽△ABC時， ∴， 即，解得：．

∴當或時，△MBN與△ABC相似．

（3）過M作MD⊥BC于點D，可得：設四邊形ACNM的面積為，

∴

．

∴根據二次函數的性質可知，當時，的值最小． 此時，