Question

【題目】在中，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)重合），，垂足為點(diǎn)，如果以為對(duì)角線的正方形上的所有點(diǎn)都在的內(nèi)部或邊上，則稱該正方形為的內(nèi)正方形．

（1）如圖，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，畫(huà)出的內(nèi)正方形，直接寫(xiě)出此時(shí)內(nèi)正方形的面積；

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，．

①若，求的內(nèi)正方形的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；

②若對(duì)于任意的點(diǎn)，的內(nèi)正方形總是存在，直接寫(xiě)出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）畫(huà)圖見(jiàn)解析；的內(nèi)正方形的面積為；（2）①；②或．

【解析】

（1）根據(jù)要求作出正方形DGEH即可，求出DE，根據(jù)正方形的面積等于對(duì)角線乘積的一半計(jì)算即可．

（2）①如圖2中，設(shè)E（m，0）．用m表示出點(diǎn)G的坐標(biāo)，求出直線AC的解析式，當(dāng)點(diǎn)G落在AC上時(shí)，利用待定系數(shù)法求出m即可解決問(wèn)題．

②觀察圖2可知，當(dāng)t＝4或4時(shí)，點(diǎn)G落在AC上，由此可以得出結(jié)論．

解：（1）如圖．

∵，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，

∴．另一條對(duì)角線的長(zhǎng)也=1,

∴的內(nèi)正方形的面積=對(duì)角線的乘積=．

（2）①根據(jù)題意，，．

設(shè)正方形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，可知點(diǎn)總在邊上，當(dāng)在邊上時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)取得最大值，作于點(diǎn)．

可知，，，，

∴．

∴．

∴．

②或．

由圖形可知,當(dāng)t=4時(shí),點(diǎn)F落在AC上,

故t≥4時(shí),△ABC的內(nèi)正方形總是存在的,

根據(jù)對(duì)稱性,t≤-4時(shí),也滿足條件,