Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，過⊙T（半徑為r）外一點P引它的一條切線，切點為Q，若0＜PQ≤2r，則稱點P為⊙T的伴隨點．

（1）當⊙O的半徑為1時，

①在點A(4，0)，B(0，)，C(1，)中，⊙O的伴隨點是　 　；

②點D在直線y＝x+3上，且點D是⊙O的伴隨點，求點D的橫坐標d的取值范圍；

（2）⊙M的圓心為M(m，0)，半徑為2，直線y＝2x﹣2與x軸，y軸分別交于點E，F．若線段EF上的所有點都是⊙M的伴隨點，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①B，C；②；（2）或．

【解析】

（1）①畫出圖形，利用勾股定理、圓的切線的性質求出切線長，再根據⊙O的伴隨點的定義判斷即可；

②如圖2中，設點D的坐標為，先求出當切線長為時，OD的長，再利用兩點之間的距離公式可求出d的值，由此即可得出答案；

（2）求出臨界位置時m的值即可判斷：①如圖3-1中，設FT是⊙M的切線，當時，求出此時m的值，再根據伴隨點的定義，結合圖象即可得；②如圖3-2中，設ET是⊙M的切線，連接MT，則，求出此時臨界位置m的值，再根據伴隨點的定義，如圖3-3中，當⊙M在直線EF的左側與EF相切時，設切點為T，連接MT，求出臨界位置m的值，然后結合圖象即可得．

（1）①如圖1，為⊙O的三條切線

⊙O的半徑為1

則切線AG的長為

切線BN的長為

切線CM的長為

由⊙O的伴隨點的定義得：點B，C是⊙O的伴隨點

故答案為：B，C；

②如圖2中，設點D的坐標為

當過點D的切線長為時，

由兩點之間的距離公式得：

解得

結合圖象可知，點D的橫坐標d的取值范圍是；

（2）對于

當時，，解得，則點E的坐標為

當時，，則點F的坐標為

⊙M的半徑為2，⊙M的圓心為

，

由題意，由以下兩種情況：

如圖3-1中，點M在點E的右側

設FT是⊙M的切線

則有兩個臨界位置：和點E對應的切線長為0

當時，則

當點E對應的切線長為0，即

解得

結合圖象得，當時，線段EF上的所有點都是⊙M的伴隨點

②如圖3-2和3-3中，點M在點E的左側

則有如下兩個臨界位置：

如圖3-2，設ET是⊙M的切線，連接MT，則

當時，

此時

解得

如圖3-3，當⊙M在直線EF的左側與EF相切時，設切點為T，連接MT

∵

∴

∴

∵EF是切線

∴

∴

∵

∴

∴，即

解得，即

解得

結合圖象得，當時，線段EF上的所有點都是⊙M的伴隨點

綜上，m的取值范圍是或．