Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，對角線AC、BD相交于點F，AC是⊙O的直徑，延長CB到點E，連接AE，∠BAE＝∠ADB，AN⊥BD，CM⊥BD，垂足分別為點N、M．

（1）證明：AE是⊙O的切線；

（2）試探究DM與BN的數量關系并證明；

（3）若BD＝BC，MN＝2DM，當AE＝時，求OF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DM＝BN；證明見解析；（3）OF=．

【解析】

（1）由圓周角定理得出，，得出，證出，得出，即可得出結論；

（2）證，得出，證，得出，即，進而得出結論；

（3）由（2）知，則，設，則，，，由勾股定理得出，證，得出，求出，，，由，求出，得出，，證，求出，即可得出答案．

解：（1）證明：是的直徑，

，

，

，，

，即，

，

是的切線；

（2）解：，理由如下：

，，，

，

，

，

，

，

，，

，

，即，

，

；

（3）解：由（2）知，則，

設，

，，

，，，

，

，

是的直徑，，

，

，

，

，

設，，

，，

，即，

解得：，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

．