Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，已知點A（8，0）和點B（0，6），點C是AB的中點，點P在折線AOB上，直線CP截△AOB，所得的三角形與△AOB相似，那么點P的坐標是_____．

Answer 1

【答案】（0，3）、（4，0）、（，0）

【解析】

分類討論：當PC∥OA時，△BPC∽△BOA，易得P點坐標為（0，3）；當PC∥OB時，△ACP∽△ABO，易得P點坐標為（4，0）；當PC⊥AB時，如圖，由于∠CAP=∠OAB，則Rt△APC∽Rt△ABC，計算出AB、AC，則可利用比例式計算出AP，于是可得到OP的長，從而得到P點坐標．

解：當PC∥OA時，△BPC∽△BOA，

由點C是AB的中點，可得P為OB的中點，

此時P點坐標為（0，3）；

當PC∥OB時，△ACP∽△ABO，

由點C是AB的中點，可得P為OA的中點，

此時P點坐標為（4，0）；

當PC⊥AB時，如圖，

∵∠CAP＝∠OAB，

∴Rt△APC∽Rt△ABO，

∴，

∵點A（8，0）和點B（0，6），

∴AB＝＝10，

∵點C是AB的中點，

∴AC＝5，

∴，

∴AP＝ ，

∴OP＝OA﹣AP＝8﹣＝，

此時P點坐標為（，0），

綜上所述，滿足條件的P點坐標為（0，3）、（4，0）、（，0）．

故答案為：（0，3）、（4，0）、（，0）