Question

【題目】[知識生成]通常，用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等式．

例如：如圖①是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．請解答下列問題：

（1）圖②中陰影部分的正方形的邊長是________________；

（2）請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積：

方法1:________________________；方法2：_______________________；

（3）觀察圖②，請你寫出（a+b）2、、之間的等量關系是____________________________________________；

（4）根據（3）中的等量關系解決如下問題:若，，則=

[知識遷移]

類似地，用兩種不同的方法計算同一幾何體的體積，也可以得到一個恒等式．

（5）根據圖③，寫出一個代數恒等式：____________________________；

（6）已知，，利用上面的規律求的值．

Answer 1

【答案】（1） a-b；（2）； ； （3）；（4） 14；（5） （a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2；（6） 9．

【解析】

（1）由圖直接求得邊長即可，

（2）已知邊長直接求面積，陰影面積是大正方形面積減去四個長方形面積，可得答案，

（3）利用面積相等推導公式；

（4）利用（3）中的公式求解即可，

（5）利用體積相等推導；

（6）應用（5）中的公式即可．

解：（1）由圖直接求得陰影邊長為a-b；

故答案為：a-b；

（2）方法一：已知邊長直接求面積為；

方法二：陰影面積是大正方形面積減去四個長方形面積，

∴面積為；

故答案為；；

（3）由陰影部分面積相等可得；

故答案為：

（4）由，

可得，

∵，

∴ ，

∴ ；

故答案為；

（5）方法一：正方體棱長為a+b， ∴體積為，

方法二：正方體體積是長方體和小正方體的體積和，

即，

∴；

故答案為；

（6）∵；

將a+b=3，ab=1，代入得：

；