Question

【題目】如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，以AB為一邊作等邊△ABE，作OA的垂直平分線MN交AB的垂線AD于點D．

（1）連接BD，OE．求證：BD＝OE；

（2）連接DE交AB于F．求證：F為DE的中點．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）連接OD，易證△ADO為等邊三角形，再證△ABD≌△AEO即可．

（2）作EH⊥AB于H，先證△ABO≌△AEH，得AO＝EH，再證△AFD≌△HFE即可．

證明：（1）連接OD，如圖1，

∵△ABE是等邊三角形，

∴AB＝BE，∠EAB＝60°，

∵DA⊥BA，

∴∠DAB＝90°，

∵∠BAO＝30°，

∴∠DAO＝90°﹣30°＝60°，

∴∠OAE＝∠DAB，

∵MN垂直平分OA，

∴OD＝DA，

∴△AOD是等邊三角形，

∴DA＝OA，

∴△ABD≌△AEO（SAS），

∴BD＝OE；

（2）證明：如圖2，作EH⊥AB于H，

∴∠EHA＝∠DAF＝90°，

∵AE＝BE，

∴2AH＝AB，

∵∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，

∴2OB＝AB，

∴AH＝BO，

∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），

∴EH＝AO＝AD，

∵∠EHF＝∠DAF＝90°，∠EFH＝∠DFA，

∴△HFE≌△AFD（AAS），

∴EF＝DF，

∴F為DE的中點．