Question

【題目】如圖，y關于x的二次函數y=﹣（x+m）（x﹣3m）圖象的頂點為M，圖象交x軸于A、B兩點，交y軸正半軸于D點．以AB為直徑作圓，圓心為C．定點E的坐標為（﹣3，0），連接ED．（m＞0）

（1）寫出A、B、D三點的坐標；

（2）當m為何值時M點在直線ED上？判定此時直線與圓的位置關系；

（3）當m變化時，用m表示△AED的面積S，并在給出的直角坐標系中畫出S關于m的函數圖象的示意圖．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣m，0），B（3m，0），D（0，m）．（2）直線ED與⊙C相切．（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）根據x軸，y軸上點的坐標特征代入即可求出A、B、D三點的坐標；

（2）待定系數法先求出直線ED的解析式，再根據切線的判定得出直線與圓的位置關系；

（3）分當0＜m＜3時，當m＞3時兩種情況討論求得關于m的函數．

解：（1）令y=0，則﹣（x+m）（x﹣3m）=0，解得x1=﹣m，x2=3m；

令x=0，則y=﹣（0+m）（0﹣3m）=m．

故A（﹣m，0），B（3m，0），D（0，m）．

（2）設直線ED的解析式為y=kx+b，將E（﹣3，0），D（0，m）代入得：

解得，k=，b=m．

∴直線ED的解析式為y=mx+m．

將y=﹣（x+m）（x﹣3m）化為頂點式：y=﹣（x﹣m）2+m．

∴頂點M的坐標為（m，m）．代入y=mx+m得：m2=m

∵m＞0，

∴m=1．所以，當m=1時，M點在直線DE上．

連接CD，C為AB中點，C點坐標為C（m，0）．

∵OD=，OC=1，

∴CD=2，D點在圓上

又∵OE=3，DE2=OD2+OE2=12，

EC2=16，CD2=4，

∴CD2+DE2=EC2．

∴∠EDC=90°

∴直線ED與⊙C相切．

（3）當0＜m＜3時，S△AED=AE．OD=m（3﹣m）

S=﹣m2+m．

當m＞3時，S△AED=AEOD=m（m﹣3）．

即S=m2_ m．

S關于m的函數圖象的示意圖如右：