Question

【題目】如圖①，若拋物線L1的頂點A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點B在拋物線L1上(點A與點B不重合)，我們把這樣的兩拋物線L1、L2稱為“伴隨拋物線”，可見一條拋物線的“伴隨拋物線”可以有多條．

(1)拋物線L1：y＝－x2＋4x－3與拋物線L2是“伴隨拋物線”，且拋物線L2的頂點B的橫坐標為4，求拋物線L2的表達式；

(2)若拋物線y＝a1(x－m)2＋n的任意一條“伴隨拋物線”的表達式為y＝a2(x－h)2＋k，請寫出a1與a2的關系式，并說明理由；

(3)在圖②中，已知拋物線L1：y＝mx2－2mx－3m(m>0)與y軸相交于點C，它的一條“伴隨拋物線”為L2，拋物線L2與y軸相交于點D，若CD＝4m，求拋物線L2的對稱軸．

Answer 1

【答案】（1）y＝(x－4)2－3（2）伴隨拋物線的頂點不重合，∴m≠h，∴a1＝－a2（3）拋物線L2的對稱軸為x＝±2.

【解析】試題分析：（1）先分別求得點A、點B的坐標，然后再利用待定系數法進行求解即可；

（2）根據：拋物線L1的頂點A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點B也在拋物線L1上，可以列出兩個方程，相加可得：（a1+a2 ）（m-h）2=0，可得a1=-a2；

（3）易得拋物線L1的頂點坐標為(1，－4m)，設拋物線L2的頂點的橫坐標為h，則其縱坐標為mh2－2mh－3m，則有拋物線L2的表達式為y＝－mx2＋2mhx－2mh－3m，從而得點D的坐標為(0，－2mh－3m)，再根據點C的坐標為(0，－3m)，從而可得|(－2mh－3m)－(－3m)|＝4m，解得h＝±2，從而得拋物線L2的對稱軸為x＝±2.

試題解析：(1)由y＝－x2＋4x－3可得A的坐標為(2，1)，

將x＝4代入y＝－x2＋4x－3，得y＝－3，∴B的坐標為(4，－3)，

設拋物線L2的解析式為y＝a(x－4)2－3； 將(2，1)代入y＝a(x－4)2－3，

得1＝a(2－4)2－3，解得a＝1，

∴拋物線L2的表達式為y＝(x－4)2－3；

(2)a1＝－a2，理由如下：

∵拋物線L1的頂點A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點B在拋物線L1上，

∴可列方程組： ，

整理，得(a1＋a2)(m－h)2＝0，

∵伴隨拋物線的頂點不重合，∴m≠h，∴a1＝－a2；

(3)拋物線L1：y＝mx2－2mx－3m的頂點坐標為(1，－4m)，

設拋物線L2的頂點的橫坐標為h，則其縱坐標為mh2－2mh－3m，

∴拋物線L2的表達式為y＝－m(x－h)2＋mh2－2mh－3m，

化簡得，y＝－mx2＋2mhx－2mh－3m，

所以點D的坐標為(0，－2mh－3m)，

又點C的坐標為(0，－3m)，

可得|(－2mh－3m)－(－3m)|＝4m， 解得h＝±2，

∴拋物線L2的對稱軸為x＝±2.