Question

【題目】如圖1，拋物線C：y＝ax2+bx經過點A（﹣4，0）、B（﹣1，3）兩點，G是其頂點，將拋物線C繞點O旋轉180°，得到新的拋物線C′．

（1）求拋物線C的函數解析式及頂點G的坐標；

（2）如圖2，直線l：y＝kx經過點A，D是拋物線C上的一點，設D點的橫坐標為m（m＜﹣2），連接DO并延長，交拋物線C′于點E，交直線l于點M，若DE＝2EM，求m的值；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AG、AB，在直線DE下方的拋物線C上是否存在點P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣4x，頂點為：G（﹣2，4）；（2）－3；（3）存在，點P的橫坐標為：或

【解析】

(1)運用待定系數法將A(﹣4，0)、B(﹣1，3)代入y=ax2+bx中，即可求得a和b的值和拋物線C解析式，再利用配方法將拋物線C解析式化為頂點式即可求得頂點G的坐標；

(2)根據拋物線C繞點O旋轉180°，可求得新拋物線C′的解析式，再將A(﹣4，0)代入y=kx中，即可求得直線l解析式，根據對稱性可得點E坐標，過點D作DF⊥x軸于F，過M作MR⊥x軸于R，由DE=2EM，建立方程求解即可；

(3)連接BG，易證△ABG是Rt△，∠ABG=90°，可得tan∠DEP=tan∠GAB，在x軸下方過點O作OH⊥OE，在OH上截取OHOE，過點E作ET⊥y軸于T，連接EH交拋物線C于點P，點P即為所求的點；通過建立方程組求解即可．

(1)將A(﹣4，0)、B(﹣1，3)代入y=ax2+bx中，得，

解得，

∴拋物線C解析式為：y=﹣x2﹣4x，

配方，得：y=﹣x2﹣4x=﹣(x+2)2+4，

∴頂點為：G(﹣2，4)；

(2)∵拋物線C繞點O旋轉180°，得到新的拋物線C′．

∴新拋物線C′的頂點為：G′(2，﹣4)，二次項系數為：a′=1，

∴新拋物線C′的解析式為：y=(x﹣2)2﹣4=x2﹣4x，

將A(﹣4，0)代入y=kx中，得0=﹣4k，解得k，

∴直線l解析式為yx，

設D(m，﹣m2﹣4m)，

∵D、E關于原點O對稱，

∴OD=OE，

∵DE=2EM，

∴OM=2OD，

過點D作DF⊥x軸于F，過M作MR⊥x軸于R，

∴∠OFD=∠ORM，

∵∠DOF=∠MOR，

∴△ODF∽△OMR，

∴2，

∴OR=2OF，RM=2DF，

∴M(﹣2m，2m2+8m) ，

將M(﹣2m，2m2+8m)代入直線l解析式yx，

∴2m2+8m(﹣2m)，

解得：m1=﹣3，m2，

∵m＜﹣2

∴m的值為：﹣3；

(3)由(2)知：m=﹣3，

∴D(﹣3，3)，E(3，﹣3)，OE=3，

如圖3，連接BG，

在△ABG中，

∵AB2=(﹣1+4)2+(3﹣0)2=18，

BG2=(﹣1+2)2+(3﹣4)2=2，

AG2=(﹣4+2)2+(0﹣4)2=20，

∴AB2+BG2=AG2，

∴△ABG是直角三角形，∠ABG=90°，

∴tan∠GAB，

∵∠DEP=∠GAB，

∴tan∠DEP=tan∠GAB，

在x軸下方過點O作OH⊥OE，在OH上截取OHOE，

過點E作ET⊥y軸于T，連接EH交拋物線C于點P，點P即為所求的點；

∵E(span>3，﹣3)，

∴∠EOT=45°，

∵∠EOH=90°，

∴∠HOT=45°，

過點H作HN⊥y軸于N，

∵OH，∠HOT=45°，

∴HN=NO=1，

∴H(﹣1，﹣1)，設直線EH解析式為y=px+q，

則，解得，

∴直線EH解析式為yx，

解方程組，

得，，

∴點P的橫坐標為：或．