Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E．

（1）如圖①，若CD＝8，BE＝2，求⊙O的半徑；

（2）如圖②，點G是上一點，AG的延長線與DC的延長線交于點F，求證：∠AGD＝∠FGC．

Answer 1

【答案】（1）5 （2）見解析

【解析】

（1）連接OD，設⊙O的半徑為r，根據垂徑定理求出DE，根據勾股定理列式計算；

（2）連接AD，根據垂徑定理得到 ，根據圓周角定理得到∠ADC＝∠AGD，根據圓內接四邊形的性質得到∠ADC＝∠FGC，等量代換即可證明．

（1）解：如圖①，連接OD，

設⊙O的半徑為r，則OE＝r﹣2，

∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，

∴DE＝CD＝4，

在Rt△OED中，OD2＝OE2+DE2，即r2＝（r﹣2）2+42，

解得：r＝5，即⊙O的半徑為5；

（2）證明：如圖②，連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，

∴，

∴∠ADC＝∠AGD，

∵四邊形ADCG是圓內接四邊形，

∴∠ADC＝∠FGC，

∴∠FGC＝∠AGD．