Question

【題目】如圖，已知平行四邊形OABC的三個頂點A、B、C在以O為圓心的半圓上，過點C作CD⊥AB，分別交AB、AO的延長線于點D、E，AE交半圓O于點F，連接CF．

（1）判斷直線DE與半圓O的位置關系，并說明理由；

（2）①求證：CF=OC；

②若半圓O的半徑為12，求陰影部分的周長．

Answer 1

【答案】（1）DE是⊙O的切線；（2）①證明見解析；②4π+12+．

【解析】

試題（1）結論：DE是⊙O的切線．首先證明△ABO，△BCO都是等邊三角形，再證明四邊形BDCG是矩形，即可解決問題；

（2）①只要證明△OCF是等邊三角形即可解決問題；

②求出EC、EF、弧長CF即可解決問題．

試題解析：（1）結論：DE是⊙O的切線．

理由：∵四邊形OABC是平行四邊形，又∵OA=OC，∴四邊形OABC是菱形，

∴OA=OB=AB=OC=BC，∴△ABO，△BCO都是等邊三角形，∴∠AOB=∠BOC=∠COF=60°，

∵OB=OF，∴OG⊥BF，

∵AF是直徑，CD⊥AD，∴∠ABF=∠DBG=∠D=∠BGC=90°，∴四邊形BDCG是矩形，

∴∠OCD=90°，∴DE是⊙O的切線；

（2）①由（1）可知：∠COF=60°，OC=OF，∴△OCF是等邊三角形，∴CF=OC；

②在Rt△OCE中，∵OC=12，∠COE=60°，∠OCE=90°，

∴OE=2OC=24，EC=，

∵OF=12，∴EF=12，∴的長= =4π，

∴陰影部分的周長為4π+12+．