Question

【題目】如圖，已知是的高， 直角的頂點是射線上一動點， 交直線于點所在直線交直線于點F．

（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（2）若G為AE的中點，求tan∠EAF的值；

（3）在點E的運動過程中，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由見詳解；（2）；（3）

【解析】

（1）證明△ADC∽△CDB可得結論．

（2）如圖1中，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解決問題．

（3）如圖2中，作EH⊥AB于H．由EH∥CD，推出，可得EH=，BH=，利用勾股定理求出AE，再利用相似三角形的性質求出EF即可解決問題．

解：（1）結論：△ABC是直角三角形．

理由：∵CD⊥AB，

∴∠CDA=∠CDB=90°，

∵AD=1，CD=2，BD=4，

∴CD2=ADBD，

∴，

∴△ADC∽△CDB，

∴∠ACD=∠B，

∵∠B+∠DCB=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠ACB=90°，

∴△ABC是直角三角形．

（2）如圖1中，作EH⊥AB于H．

∵AD⊥AB，EH⊥AB，

∴DG∥HE，

∵AG=GE，

∵AD=DH=1，

∵DB=4，

∴BH=DB-DH=3，

∵EH∥CD，

∴，

∴，

∴EH=，

∴．

（3）如圖2中，作EH⊥AB于H．

∵CD⊥AB，EH⊥AB，

∴EH∥CD，

∴，

∵CD=2，BD=4，

∴EH=，BH=，

∴AH=AB-BH==，DH=AH-AD=，

在Rt△AEH中，，

∵DG∥EH，

∴，

∴，

∴，

∵AE⊥EF，EH⊥AF，

∴△AEH∽△EFH，

∴，

∴，

∴，

∴；