Question

【題目】（1）如圖（1），在△ABC中，∠A=62°，∠ABD=20°，∠ACD=35°，求∠BDC的度數．

（2）圖（1）所示的圖形中，有點像我們常見的學習用品--圓規．我們不妨把這樣圖形叫做“規形圖”，觀察“規形圖”圖（2），試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的數量關系，并說明理由．

（3）請你直接利用以上結論，解決以下問題：

①如圖（3），把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經過點B、C，若∠A=42°，則∠ABX+∠ACX= °．

②如圖（4），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=60°，∠DBE=140°，求∠DCE的度數．

③如圖（5），∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=68°，求∠A的度數．

Answer 1

【答案】（1）117°；（2）∠BDC=∠A+∠B+∠C；；（3）①48°；②100°;③60°.

【解析】

（1）先根據三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數，再由∠1=20°，∠2=35°求出∠DBC+∠DCB的度數，由三角形內角和定理即可得出結論；

（2）首先連接AD并延長至點F，然后根據外角的性質，即可判斷出∠BDC=∠A+∠B+∠C．

（3）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后根據∠A=42°，∠BXC=90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．

②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據∠DAE=60°，∠DBE=140°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根據∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度數是多少即可．

③根據∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C=68°，設∠A為x°，可得∠ABD+∠ACD=140°-x°，解方程，求出x的值，即可判斷出∠A的度數是多少．

（1）∵在△ABC中，∠A=62°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-62°=118°．

∵∠1=20°，∠2=35°，

∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-∠1-∠2=118°-20°-35°=63°．

∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-63°=117°；

（2）如圖2，連接AD并延長至點F，

根據外角的性質，可得

∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，

又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，

∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（3）①由（1），可得

∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，

∵∠A=42°，∠BXC=90°，

∴∠ABX+∠ACX=90°-42°=48°；

故答案為：48°；

②由（1），可得

∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，

∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=140°-60°=80°，

∴（∠ADB+∠AEB）=80°÷2=40°，

∴∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠DAE

=40°+60°

=100°；

③∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，

∵∠BG1C=68°，

∴設∠A為x°，

∵∠ABD+∠ACD=140°-x°

∴（140-x）+x=70，

∴14-x+x=68，

解得x=60

即∠A的度數為60°．