Question

【題目】若拋物線L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的頂點P在直線l上，則稱該拋物線L與直線l具有“一帶一路關系”，此時，拋物線L叫做直線l的“帶線”，直線l叫做拋物線L的“路線”．

⑴求“帶線”L：y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常數）的“路線”l的解析式；

⑵若某“帶線”L：y=x2+bx+c的頂點在二次函數y=x2+4x+1的圖象上，它的“路線”l的解析式為y=2x+4．

①求此“帶線”L的解析式；

②設“帶線”L與“路線”l的另一②個交點為Q，點R在PQ之間的“帶線”L上，當點R到“路線”l的距離最大時，求點R的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x﹣1；（2）y=x2﹣x+或y=x2+3x+；點R的坐標為（3，8）或（﹣1，0）．

【解析】

（1）先配方得到拋物線y=x2-2mx+m2+m-1的頂點坐標，則根據新定義得到“帶線”L的頂點為（m，m-1），然后利用橫縱坐標之間的關系可確定“路線”l的解析式；（2）①根據新定義“帶線”L：y=x2+bx+c的頂點在“路線”l，則可設“帶線”L：y=x2+bx+c的頂點為（x，2x+4），再把（x，2x+4）代入y=x2+4x+1得2x+4=x2+4x+1，解方程求出x就看得到“帶線”L：y=x2+bx+c的頂點坐標，然后利用頂點式可得“帶線”L的解析式；②討論：當“帶線”L解析式為y=x2-x+ 時，通過解方程組得Q的坐標為（5，14），由于要使點R到線段PQ的距離最大，只要S△RPQ最大，作PH∥y軸交PQ于H，設R（x，x2-x+），則H（x，2x+4），利用三角形面積公式，S△RPQ=（2x+4-x2+x-）（5-1），然后根據二次函數的性質求解；若“帶線”L解析式為y=x2+3x+ 時，利用同樣的方法可確定點R的坐標．

（1）∵y=x2﹣2mx+m2+m﹣1=（x﹣m）2+m﹣1，

∴“帶線”L的頂點為（m，m﹣1），

∴“路線”l的解析式為y=x﹣1；

（2）①設“帶線”L：y=x2+bx+c的頂點為（x，2x+4）．

把（x，2x+4）代入y=x2+4x+1得2x+4=x2+4x+1，解得x1=1，x2=﹣3．

∴“帶線”L：y=x2+bx+c的頂點為（1，6）或（﹣3，﹣2）．

∴“帶線”L的解析式為y=（x﹣1）2+6或y=（x+3）2﹣2，

即y=x2﹣x+或y=x2+3x+；

②若“帶線”L解析式為y=x2﹣x+時，解方程組 得 或 ，則帶線”L與“路線”l的另一個交點Q的坐標為（5，14），

要使點R到線段PQ的距離最大，只要S△RPQ最大，

作PH∥y軸交PQ于H，設R（x，x2﹣x+），則H（x，2x+4）

∴S△RPQ=（2x+4﹣x2+x﹣）（5﹣1）=﹣x2+6x+3=﹣（x﹣3）2+13．

∴當x=3時，S△RPQ有最大值，此時點R的坐標為（3，8）；

若“帶線”L解析式為y=x2+3x+時，同理可得點R的坐標為（﹣1，0）．

∴點R的坐標為（3，8）或（﹣1，0）．