Question

【題目】如圖，分別是可活動的菱形和平行四邊形學具，已知平行四邊形較短的邊與菱形的邊長相等．

（1）在一次數學活動中，某小組學生將菱形的一邊與平行四邊形較短邊重合，擺拼成如圖1所示的圖形，AF經過點C，連接DE交AF于點M，觀察發現：點M是DE的中點．
下面是兩位學生有代表性的證明思路：
思路1：不需作輔助線，直接證三角形全等；
思路2：不證三角形全等，連接BD交AF于點H．…
請參考上面的思路，證明點M是DE的中點（只需用一種方法證明）；
（2）如圖2，在（1）的前提下，當∠ABE=135°時，延長AD、EF交于點N，求 的值；
（3）在（2）的條件下，若 =k（k為大于 的常數），直接用含k的代數式表示 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

證法一：∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∵四邊形ABEF為平行四邊形，

∴AB=EF，AB∥EF，

∴CD=EF，CD∥EF，

∴∠CDM=∠FEM，

在△CDM和△FEM中

，

∴△CDM≌△FEM，

∴DM=EM，

即點M是DE的中點；

證法二：∵四邊形ABCD為菱形，

∴DH=BH，

∵四邊形ABEF為平行四邊形，

∴AF∥BE，

∵HM∥BE，

∴ = =1，

∴DM=EM，

即點M是DE的中點；

（2）

解：∵△CDM≌△FEM，

∴CM=FM，

設AD=a，CM=b，

∵∠ABE=135°，

∴∠BAF=45°，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴∠NAF=45°，

∴四邊形ABCD為正方形，

∴AC= AD= a，

∵AB∥EF，

∴∠AFN=∠BAF=45°，

∴△ANF為等腰直角三角形，

∴NF= AF= （ a+b+b）=a+ b，

∴NE=NF+EF=a+ b+a=2a+ b，

∴ = = =

（3）

解：∵ = = + =k，

∴ =k﹣ ，

∴ = ，

∴ = = +1= +1=

【解析】（1）證法一，利用菱形性質得AB=CD，AB∥CD，利用平行四邊形的性質得AB=EF，AB∥EF，則CD=EF，CD∥EF，再根據平行線的性質得∠CDM=∠FEM，則可根據“AAS”判斷△CDM≌△FEM，所以DM=EM；
證法二，利用菱形性質得DH=BH，利用平行四邊形的性質得AF∥BE，再根據平行線分線段成比例定理得到 = =1，所以DM=EM；（2）由△CDM≌△FEM得到CM=FM，設AD=a，CM=b，則FM=b，EF=AB=a，再證明四邊形ABCD為正方形得到AC= a，接著證明△ANF為等腰直角三角形得到NF=a+ b，則NE=NF+EF=2a+ b，然后計算 的值；（3）由于 = = + =k，則 = ，然后表示出 = = +1，再把 = 代入計算即可．