Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y= x2﹣ x﹣2與x軸交與A，B兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C，點D與點C關于x軸對稱，連接BD

（1）求點A，B，C的坐標．
（2）當點P時x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l，交拋物線于點M，交直線BD于點N
①當點P在線段OB上運動時（不與O、B重合），求m為何值時，線段MN的長度最大，并說明此時四邊形DCMN是否為平行四邊形
②當點P的運動過程中，是否存在點M，使△BDM是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y= x2﹣ x﹣2中，令y=0可得0= x2﹣ x﹣2，解得x=﹣1或x=4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

在y= x2﹣ x﹣2中，令x=0可得y=﹣2，

∴C（0，﹣2）；

（2）

①∵D與C關于x軸對稱，

∴D（0，2），且B（4，0），

∴可設直線BD解析式為y=kx+2，把B點坐標代入可得4k+2=0，解得k=﹣ ，

∴直線BD解析式為y=﹣ x+2，

∵P（m，0），

∴N（m，﹣ m+2），M（m， m2﹣ m﹣2），

∵P在線段OB上，

∴M在x軸下方，

∴MN=﹣ m+2﹣（ m2﹣ m﹣2）=﹣ m2+m+4=﹣ （m﹣1）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴當m=1時，MN有最大值，最大值為 ，

∵CD=4≠MN，

∴四邊形DCMN不是平行四邊形；

②∵點P在線段OB上運動，

∴點M在第四象限，

∴∠MDB≠90°，

當△BDM是以BD為直角邊的直角三角形時，只有MB⊥BD，如圖，

設P（m，0），則M（m， m2﹣ m﹣2），且B（4，0），D（0，2），

∴BP=4﹣m，PM=﹣ m2+ m+2，OB=4，OD=2，

∵∠MBD=90°，

∴∠OBD+∠PBM=∠ODB+∠OBD=90°，

∴∠ODB=∠PMB，

∴△OBD∽△PMB，

∴ = ，即 = ，解得m=3或m=4（舍去），

∴M點坐標為（3，﹣2）．

【解析】（1）利用拋物線解析式容易求得A、B、C的坐標；（2）①可求得直線BD的解析式，利用m可表示出MN的長，則可利用二次函數的性質求得MN的最大值，再判斷MN與CD是否相等即可；②由題意可知只能BM⊥BD，可設出M點的坐標，從而可表示出BP和MP的長，利用△OBD∽△PMB，可得到關于M點坐標的方程，從而可求得M點的坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小，以及對平行四邊形的判定與性質的理解，了解若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．