Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，求證：AD垂直平分EF．

Answer 1

證明：設AD、EF的交點為K，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，


∴DE=DF．
∴D在線段EF的垂直平分線上．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，

AD=AD DE=DF

，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
又∵∠EAD=∠FAD，AK=AK，
∴△AEK≌△AFK，
∴EK=KF，∠AKE=∠AKF=90°，
∴AD是線段EF的垂直平分線．
∴EF⊥AD．