Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD為BC邊上的高，E、F分別為AB、AC邊上的點，將△ABC分別沿DE、DF折疊，使點B落在DA的延長線上點M處，點C落在點N處，連接MN，若MN∥AC，則AF的長是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

過點D作DH⊥AC于H，由等腰三角形的性質和直角三角形的性質可求∠C＝30°，AD＝AC＝1，∠DAC＝60°，BD＝CD，由折疊的性質可得DN＝DC，DB＝DM，∠CDF＝∠NDF，可證△DMN是等邊三角形，可得∠MDN＝60°，由折疊的性質可求∠HDF＝∠HFD＝45°，由直角三角形的性質可求解．

解：如圖，過點D作DH⊥AC于H，

∵AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD為BC邊上的高，

∴∠C＝30°，AD＝AC＝1，∠DAC＝60°，BD＝CD，

∵MN∥AC，

∴∠DAC＝∠DMN＝60°，

∵DH⊥AF，

∴∠ADH＝30°，

∴AH＝AD＝，DH＝AH＝，

∵將△ABC分別沿DE、DF折疊，

∴DN＝DC，DB＝DM，∠CDF＝∠NDF，

∴DM＝DN，

∴△DMN是等邊三角形，

∴∠MDN＝60°，

∴∠CDN＝30°，

∴∠CDF＝15°，

∴∠DFH＝∠C+∠CDF＝45°，

∵DH⊥AF，

∴∠HDF＝∠HFD＝45°，

∴DH＝HF＝，

∴AF＝HF+AH＝．

故答案為：．