Question

10．小剛和小李做了一個游戲．如圖，準備了一只碗，從側面觀察碗身是一條拋物線，而俯視圖又是一個圓．已知碗深為5cm，碗口寬為10cm．
（1）根據圖中建立的坐標系，求出拋物線的關系式．
（2）小剛向碗中加水，使它剛好漂浮兩張半徑為2cm的圓形薄紙片；小李向碗中加水，使它剛好漂浮一張面積為4cm的正十二邊形薄紙片，那么誰加入的水更多一些？

Answer 1

分析 （1）由圖中的坐標系得到A（-5，5），代入y=ax²，得到a=$\frac{1}{5}$，于是得到結論；
（2）求得小剛向碗中加水的水深為$\frac{16}{5}$cm，小李向碗中加的水深為$\frac{4}{15}$cm，于是得到結論．

解答 解：（1）由圖中的坐標系得：
∵碗深為5cm，碗口寬為10cm，
∴A（-5，5），
設拋物線解析式為：y=ax²，則5=25a，
解得：a=$\frac{1}{5}$，
∴拋物線的關系式為：y=$\frac{1}{5}$x²；
（2）∵小剛向碗中加水，使它剛好漂浮兩張半徑為2cm的圓形薄紙片；
∴水面圓的半徑的4cm，
把x=4代入y=$\frac{1}{5}$x²得y=$\frac{16}{5}$，
∴小剛向碗中加水的水深為$\frac{16}{5}$cm，
∵小李向碗中加水，使它剛好漂浮一張面積為4cm的正十二邊形薄紙片，
∴設正十二邊形的外接圓的半徑為r，
∴12×$\frac{1}{2}$r²•sin30°=4，
∴r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴把x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$代入y=$\frac{1}{5}$x²得y=$\frac{4}{15}$，
∴小李向碗中加的水深為$\frac{4}{15}$cm，
∴小剛向碗中加的水深．

點評 此題主要考查了二次函數的應用以及相切兩圓的性質等知識，正確的理解題意是解題關鍵．