Question

【題目】在三角形△ABC中，D是BC邊的中點，AD=BC．

（1）△ABC的形狀為　　　　．

（2）如圖，BM=3，BC=12，∠B=45°，∠MAN=45°，求CN；

（3）在（2）的條件下，AN=　　　　．

Answer 1

【答案】（1）直角三角形；（2）CN=4；（3）．

【解析】

（1）已知BD=DC，AD=BC，得DA=DB=DC，所以，又因為，可得∠BAC=，所以△ABC為直角三角形．

（2）設CN=x．ACB=∠B=45°，可得AB=AC．因為BD=DC，可得AD⊥BC，將△BAM繞點A逆時針旋轉90°得到△ACH，連接NH．證明△NAM≌△NAH，可得MN=NH．根據NH2=CH2+CN2，列出方程(9﹣x)2=x2+32，解得CN=x=4

（3）在Rt△ADN中，∠ADN=90°，AD= 6，DN=2，利用勾股定理即可求得AN=

（1）結論：△ABC是直角三角形．

理由：∵BD=DC，AD=BC，

∴DA=DB=DC，

∴

∵

∴∠BAC=

故答案為：直角三角形．

（2）如圖，設CN=x．

∵∠B=45°，∠BAC=90°，

∴∠ACB=∠B=45°，

∴AB=AC．

∵BD=DC，

∴AD⊥BC，

將△BAM繞點A逆時針旋轉90°得到△ACH，連接NH．

∵∠ACB=∠ACH=∠B=45°，

∴∠NCH=90°．

∵∠MAN=45°，∠MAH=90°，

∴∠NAM=∠NAH=45°．

∵NA=NA，AM=AH，

∴△NAM≌△NAH(SAS)，
∴MN=NH．

∵BM=CH=3，BC=12，

∴CM=12﹣3=9，

∴MN=NH=9﹣x．

∵NH2=CH2+CN2，

∴(9﹣x)2=x2+32，

解得：x=4，

∴CN=4．

（3）在Rt△ADN中，

∵∠ADN=90°，AD=BD=CD=6，DN=CD﹣CN=6﹣4=2，

∴AN=

故答案為：