Question

【題目】Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC:BC＝4:3，O是BC上一點，⊙O交AB于點D，交BC延長線于點E．連接ED，交AC于點G，且AG＝AD．

（1）求證：AB與⊙O相切；

（2）設⊙O與AC的延長線交于點F，連接EF，若EF∥AB，且EF＝5，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】分析：（1）連結OD，由∠ACB＝90°，可得∠OED+∠EGC＝90°，再由OD＝OE，根據等腰三角形的性質可得∠ODE＝∠OED，再因AG＝AD，根據等腰三角形的性質可得∠ADG＝∠AGD ，由∠OED+∠EGC＝∠ADG+∠ODE＝∠ADO＝90°，可得OD⊥AB ，所以AB是⊙O的切線；（2）連接OF，由EF∥AB，AC:BC＝4:3，可得CF:CE＝4:3．在Rt△ECF中，EF＝5，求得CF＝4，CE＝3．設半徑＝r，則OF＝r，CF＝4，CO＝r－3．

在Rt△OCF中，由勾股定理求得r＝， 再證得△CEF∽△DBO，根據相似三角形的性質可得，由此求得BD＝．

詳解：

（1）證明：連結OD

∵∠ACB＝90°，

∴∠OED+∠EGC＝90°，

∴OD＝OE，

∴∠ODE＝∠OED，

∵AG＝AD，

∴∠ADG＝∠AGD ，

∵∠AGD＝∠EGC，

∴∠OED+∠EGC＝∠ADG+∠ODE＝∠ADO＝90°，

∴OD⊥AB ，

∵OD為半徑，

∴AB是⊙O的切線；

（2）連接OF．

∵EF∥AB，AC:BC＝4:3，

∴CF:CE＝4:3．

又∵EF＝5，

∴CF＝4，CE＝3．

設半徑＝r，則OF＝r，CF＝4，CO＝r－3．

在Rt△OCF中，由勾股定理，可得r＝．

∵EF∥AB，

∴∠CEF＝∠B，

∴△CEF∽△DBO，

∴＝，

∴BD＝．