Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=

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．對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC、AD于點(diǎn)E、F．在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請(qǐng)說明理由；如果能，說明理由并求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的最小度數(shù)．

Answer 1

分析：首先由四邊形ABCD為平行四邊形，利用ASA證得△AOF≌△COE，然后可得OE=OF，又由OB=OD，可證得四邊形BEDF是平行四邊形，所以得當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF為菱形，又由AB⊥AC，AB=1，BC=

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，易求得OA=AB，即可得∠AOB=45°，求得∠AOF=45°，則可得此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的最小度數(shù)為45°．

解答：解：四邊形BEDF可以是菱形．
理由：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO=CO，AD∥BC，OB=OD，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，

∠FAO=∠ECO OA=OC ∠AOF=∠COE

，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE=OF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF為菱形，
在Rt△ABC中，AC=

BC2-AB2

=2，
∴OA=1=AB，
又∵AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOF=45°，
∴AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，四邊形BEDF為菱形，
即此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的最小度數(shù)為45°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系．