Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=

5

，對角線AC、BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉一定角度后，分別交BC、AD于點E、F．

（1）試說明在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等；
（2）當旋轉角為90°時，在圖2中畫出直線AC旋轉后的位置并證明此時四邊形ABEF是平行四邊形；
（3）在直線AC旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉的度數．（圖供畫圖或解釋時使用）

Answer 1

分析：（1）先根據四邊形ABCD是平行四邊形可得出AO=CO，AD∥BC，由全等三角形的判定定理可得出△AOF≌△COE，由全等三角形的性質即可得出結論；
（2）根據平行線的判定定理得出AB∥FE，再根據四邊形ABCD是平行四邊形可得出AD∥BC，進而可判斷出四邊形ABEF是平行四邊形；
（3）①由△AOF≌△COE可得出EO=FO，再根據四邊形ABCD是平行四邊形可知BO=DO，由于EF⊥BD，所以四邊形BEDF是菱形；
②先根據△ABC是直角三角形，利用勾股定理可得出AC的長，可判斷出△ABO是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質可得出∠AOF=45°，即旋轉角為45°．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠FAO=∠ECO，
∴在△AOF和△COE中，

∠FAO=∠ECO AO=CO ∠AOF=∠COE

，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴CE=AF；

（2）AC旋轉后的位置如圖1所示．
∵∠AOF=∠BAC=90°，
∴AB∥FE，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABEF是平行四邊形；


（3）①可能．當EF⊥BD時，四邊形BEDF是菱形，如圖2．
∵△AOF≌△COE（已證）
∴EO=FO，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO=DO，
又∵EF⊥BD，
∴四邊形BEDF是菱形；
②∵AB=1，BC=

5

，∠BAC=90°
∴AC=

BC2-AB2

=

( 5 )2-12

=2，
∴AO=

1

2

AC=1，
∴△ABO是等腰直角三角形，∠AOB=45°，
又∵∠BOF=90°，
∴∠AOF=45°，即旋轉角為45°．

點評：本題考查的是圖形旋轉的性質，涉及到平行四邊形、菱形及等腰直角三角形的判定與性質，涉及面較廣，難度較大．