Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=45°，將△BCD繞點C順時針旋轉一定角度后，點B的對應點恰好與點A重合，得到△ACE.

（1）求證：AE⊥BD；

（2）若AD=2,CD=3，試求出四邊形ABCD的對角線BD的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由題意可得△ABC是等腰直角三角形，由旋轉得，再由對頂角相等，三角形內角和可得，即 ；

（2）如圖，連接，依次證出△DCE是等腰直角三角形、△ADE是直角三角形，運用勾股定理得DE、AE的長，又因為BD=AE，從而求解.

（1）證：由題意可得 ，，∴．

設 與 、 分別交于點 ，∵，，

∴，即 ．

（2）解：連接，

∵，

∴．

∵，∴，．

∴，

∴，∴．