Question

【題目】如圖，在四邊形中，對角線，垂足為點，且，,，則四邊形的面積為（ ）

A. 32 B. 36 C. 42 D. 48

Answer 1

【答案】C

【解析】

如圖，作∠ADO的平分線DP交AC于P，作PE⊥AD于E．由△POD∽△BOC，得OP:OB=OD:OC，設OP=x，推出OD=2x，由PE⊥AD，PO⊥DO，∠PDE=∠PDO，推出PE=OP，由==，推出，推出AD=2（4-x），在Rt△ADO中，根據AD2=AO2+DO2，可得4（4-x）2=4x2+42，求出x的值，再根據S四邊形ABCD=S△ABD+S△BDC=BDAO+BDOC=BD（OA+OC）計算即可．

解：如圖，作∠ADO的平分線DP交AC于P，作PE⊥AD于E．

∵∠ADO=2∠BCO，
∴∠PDO=∠BCO，
∵∠POD=∠BOC，
∴△POD∽△BOC，

∴OP:OB=OD:OC，設OP=x，

∴

∴OD=2x，
∵PE⊥AD，PO⊥DO，∠PDE=∠PDO，
∴PE=OP，

∴==

∴

∴AD=2（4-x），

在Rt△ADO中，∵AD2=AO2+DO2，

∴4（4-x）2=4x2+42，

∴x=，

∴OD=3，

∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BDC=BDAO+BDOC=BD（OA+OC）=×7×12=42．

故選：C.