Question

【題目】如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，點D是上一動點(不與點A、C重合)，且∠ADB＝∠BAC＝45°.

(1)求證：AC是⊙O的直徑；

(2)當點D在運動到使AD＋CD＝5時，則線段BD的長為 ；(直接寫出結果)

(3)如圖2，把△DBC沿直線BC翻折得到△EBC，連接AE，當點D在運動時，探究線段AE、BD、CD之間的數量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5；（3）AE2=2BD2+CD2，理由見解析.

【解析】

（1）根據圓周角定理，可得∠BDC=∠BAC=45°，可求出∠ADC=90°根據圓周角定理的推論可得結論；

（2）作AM⊥BD于M,CN⊥BD于N，由等腰直角三角形的性質得AD=DM，CE=DN，證△ABM≌△BCN，可得BN=AM=DM，即可得出BD=BN+DN，從而求得BD的長；

（3）延長DA到點F，使得AF=CD,連接BF，由（2）得BD=（AD+CD）=DF，可得△BDF為等腰直角三角形，則BF=BD，DF2=2BD2，連接CF，證△CBF≌△ABE，可得AE=CF，在Rt△FDC中，CF2=DF2+CD2，即AE2=2BD2+CD2.

（1）證明：∵∠BDC、∠BAC都是 所對的圓周角，∠BAC＝45°

∴∠BDC=∠BAC=45°

∵∠ADB＝45°

∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°

∴AC是⊙O的直徑；

（2）作AM⊥BD于M,CN⊥BD于N

∵∠BDC=∠ADB =45°

∴△ADM，△CDN為等腰直角三角形

∴DM=AM=AD， DN=CN=CD

∵AC是直徑，∠BAC＝45°

∴△ABC為等腰直角三角形

∴∠ABC =∠ABM+∠NBC=90°，AB=BC

∵AM⊥BD，CN⊥BD

∴∠AMB=∠BNC=∠BCN+∠NBC =90°

∴∠ABM=∠BCN

△ABM≌△BCN

∴BN=AM=DM=AD

∵AD＋CD＝5

∴BD=BN+DN=AD+CD=×5=5；

（3）延長DA到點F，使得AF=CD,連接BF

由（2）得BD=（AD+CD）=DF，

∵∠ADB =45°

∴△BDF為等腰直角三角形

∴BF=BD，DF2=2BD2

連接CF，

在△AFB和△CDB中

∴△AFB≌△CDB

∴∠ABF=∠CBD

又∵把△DBC沿直線BC翻折得到△EBC

∴∠CBE=∠CBD，BD=BE

∴∠ABF+∠ABC=∠CBE+∠ABC，即∠CBF=∠ABE，BF=BE

∵AB=CB

∴△CBF≌△ABE

∴AE=CF

∴在Rt△FDC中，CF2=DF2+CD2

即AE2=2BD2+CD2.